Dreieck - Aufgaben und Formeln zur Flächen- und Umfangberechnung


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Ein Dreieck hat immer drei Seiten, drei Innenwinkel und drei Ecken. Jeder der drei Innenwinkel ist größer 0 und kleiner 180 Grad. Die Summe der drei Winkel ergibt beim Dreieck immer genau 180 Grad. Ein Dreieck wird immer durch drei Angaben eindeutig bestimmt. Das kann beispielsweise die Länge der drei Seiten sein, oder nur eine Seite und zwei Winkel, oder zwei Seiten und ein Winkel. Manchmal wird in den Aufgaben statt der Seite die Höhe des Dreiecks angegeben, um beispielsweise die Fläche zu berechnen. Es gibt unterschiedliche Spezialformen von Dreiecken, welche bei der Flächen- und Umfangberechnung eine Rolle spielen. Diese werden hier behandelt.

Dreieck/Trigonometrie-Aufgaben im Einstellungstest

Aufgaben zu Dreiecken sind in zahlreichen Einstellungstests beliebt. Vor allem in technischen Ausbildungsberufen, bei der Bundeswehr, sowie in Studieneignungstests sind Aufgaben zur Trigonometrie sehr beliebt.

Formeln zur Flächen- und Umfangberechnung

Es gibt eine allgemeine Formel, um die Fläche und den Umfangs eines Dreiecks zu berechnen.

Allgemeine Formel Dreiecksfläche: A = c · hc / 2

Allgemeine Formel Umfang eines Dreiecks: U = a + b + c

Doch nicht immer sind genau die Größen angegeben, die man benötigt. Häufig ist statt einer Länge ein Winkel angegeben, somit muss zur Flächenberechnung eine andere als die allgemeine Formel verwendet werden (siehe Winkelberechnung). Die Spezialform des Dreieck entscheidet darüber, welche Formel genau verwendet werden kann. Hier stellen wir die einzelnen Spezialformen des Dreiecks vor.

Rechtwinkliges Dreieck - Formeln

Der Flächeninhalt beim rechtwinkligen Dreieck lässt sich vergleichsweise einfach ermitteln. Hierzu sind nur die beiden Seitenlängen notwendig, welche durch den rechten Winkel (90 Grad) miteinander verbunden sind. Dann lautet die Formel:

Fläche rechtwinkliges Dreieck: A = a · b / 2

Umfang rechtwinkliges Dreieck: U = a + b + c

Gleichseitiges Dreieck - Formeln

Das besondere beim gleichseitigen Dreieck ist, dass alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß sind (60 Grad). Es ist eine Spezialform des gleichschenkligen Dreiecks. Der Flächeninhalt beim gleichseitigen Dreieck ist am einfachsten zu berechnen, da zur Berechnung nur eine Seitenlänge (entweder a, b oder c) notwendig ist. Beispielhaft wurde bei dieser Formel die Seitenlänge a verwendet. 

Formel gleichseitige Dreieck-Fläche: A = a² : 4 · √3

Umfang rechtwinkliges Dreieck: U = 3 · a

Gleichschenkliges Dreieck - Formeln

Beim gleichschenkligen Dreieck sind mindestens zwei Seiten gleich lang und somit mindestens zwei Winkel gleich groß. Somit werden zur Berechnung von Fläche und Umfang auch nur zwei Seiten verwendet, in diesem Beispiel ist es a und b.

Fläche gleichschenkliges Dreieck: A = 0,5 · b · √(a² - b² / 4)

Umfang gleichschenkliges Dreieck: U = 2 · a + b

Winkelberechnung beim Dreieck

Um einen bestimmten Winkel eines Dreiecks zu berechnen, wird eine der Winkelfunktionen Sinus- (sin), Kosinus (cos) oder Tangens (tan) angewandt. Die Winkel selbst werden in der Winkelfunktion durch die griechischen Buchstaben α (Alpha), β (Beta) und γ (Gamma) abgekürzt. Die gegenüberliegende Seite von α wird mit a, von β mit b und von γ mit c abgekürzt. Sollte eine Seitenlänge bei einem rechtwinkligen Dreieck nicht bekannt sein, so kann der Satz des Pythagoras angewandt werden (c² = a² + b²). Hier die Formeln zur Berechnung des Winkels α. Für cos, sin und tan gibt es auf den meisten Taschenrechnern eine eigene Taste. Somit müssen wir nur die Werte in die Formel einsetzen und in den Taschenrechner eingeben.

sin(α) = a/c (a steht für die Gegenkathete und c für die Hypotenuse)

Ist die Länge der Gegenkathete a nicht bekannt, so wird mit cos und b (Ankathete) gerechnet:

cos(α) = b/c

Ist die Länge der Hypotenuse c nicht bekannt, so wird mit tan und a (Gegenkathete) gerechnet:

tan(α) = a/b

Volumen von Körpern berechnen mit einem Dreieck als Grundfläche

Das Volumen von Körpern mit einem Dreieck als Grundfläche wird unterschiedlich berechnet, je nachdem um welchen Körper es sich handelt. Bei einem Prisma verwendet man die Formel V = Ag · h, wobei Ag für die Fläche des Dreiecks steht. Bei einer Dreieckspyramide lautet die Formel V = Ag · h  · ⅓ . Siehe dazu das Thema Körperberechnung

Schwerpunkt eines Dreiecks berechnen

Der Geometrische Schwerpunkt eines Dreicks ist sein arithmetischer Mittelpunkt. Dieser kann bei der Volumenberechnung oder in der Wahrscheinlichkeitsrechnung wichtig sein. Der Schwerpunkt liegt im gemeinsamen Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks. Die allgemeine Formel zur Berechnung der Koordinaten des Schwerpunkts S (x, y) lautet:

Sx = ⅓ (Xa + Xb + Xc) Sy = ⅓ (Ya + Yb + Yc)

Weitere mathematische Anwendungen von Dreiecken

In der Mathematik gibt es noch zahlreiche weitere Anwendungen von Dreiecken, die nichts mit der Flächen- oder Umfangberechnung zu tun haben. Dazu gehört beispielsweise das Pascalsche Dreieck. Das Parcalsche Dreieck ist eine Darstellung der Binomialkoeffizienten in Form eines Dreicks. Diese wird benutzt, um schnell beliebige Potenzen von Binomen auszumultiplizieren. Typische Anwendungsfälle finden sich dafür in der Wahrscheindlichkeitsrechnung.

FrageAnzahl
Berechne die jeweils fehlende Seite des Dreiecks ABC, bei dem es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. a=4 cm, b= ?, c= 6 cm

Häufigkeit der Antworten:
4 cm (27.95%), 4,5 cm (38.21%) richtig, 5 cm (27.44%), 5,5 cm (6.41%)
390
Ein gerader Prisma mit einem Dreieck als Grundfläche hat eine Höhe von 5 mm. Das Dreieck hat eine Seitenlänge von 10 mm und eine Höhe von 7 mm. Berechnen Sie das Volumen.
Ein gerader Prisma mit einem Dreieck als Grundfläche hat eine Höhe von 5 mm. Das Dreieck hat eine Seitenlänge von 10 mm und eine Höhe von 7 mm. Berechnen Sie das Volumen.
Häufigkeit der Antworten:
517 mm³ (20.4%), 715 mm³ (21.31%), 175 mm³ (50.45%) richtig, 157 mm³ (7.83%)
18992
Berechne den Umfang eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge b = 15 cm.

Häufigkeit der Antworten:
30 cm (18.45%), 45 cm (63.99%) richtig, 60 cm (11.01%), 75 cm (6.55%)
336
Berechne den Flächeninhalt eines Dreiecks mit der Seitenlänge c = 24 cm und der Höhe hc = 5 cm.

Häufigkeit der Antworten:
120 cm² (37.63%), 30 cm² (4.3%), 90 cm² (4.3%), 60 cm² (53.76%) richtig
186
Berechne die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Seitenlängen a = 7 m und b = 9 m.

Häufigkeit der Antworten:
31,5 m² (69.89%) richtig, 63 m² (18.28%), 27 m² (9.68%), 81 m² (2.15%)
186
Berechne die Katheten-Seitenlänge b des rechtwinkligen Dreiecks mit einer Katheten-Seitenlänge a von 4 cm und einer Fläche von 32 cm².

Häufigkeit der Antworten:
4 cm (15.67%), 8 cm (32.5%), 16 cm (47.83%) richtig, 12 cm (4%)
600
Die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks mit den Seitenlängen a = 7 cm und b = 5 cm beträgt ...

Häufigkeit der Antworten:
6,12 cm² (39.25%) richtig, 12,24 cm² (36.56%), 3,35 cm² (15.59%), 6,70 cm² (8.6%)
186
Berechnen Sie die Seitenlänge c eines gleichseitigen Dreiecks mit einem Umfang von 75 cm.

Häufigkeit der Antworten:
15 cm (9.82%), 25 cm (74.23%) richtig, 35 cm (13.5%), 45 cm (2.45%)
326
Ein rechtwinkliges Dreieck hat Katheten mit den Längen a=5 cm und b=15 cm. Berechne die Länge der Hypotenuse.

Häufigkeit der Antworten:
15,8 cm (55.68%) richtig, 18,5 cm (29.55%), 8,5 cm (11.36%), 5,8 cm (3.41%)
176
In einem gleichschenkligen Dreieck beträgt die Länge der Basis 3,5 cm. Jeder Schenkel ist 4 cm lang. Berechne die Länge der Höhe zur Basis.

Häufigkeit der Antworten:
4,6 cm (17.05%), 6,4 cm (24.43%), 6,3 cm (18.18%), 3,6 cm (40.34%) richtig
176
In einem gleichschenkligen Dreieck beträgt die Länge der Basis 8 cm und die Höhe ist 4 cm lang. Wie lang sind die beiden Schenkel?

Häufigkeit der Antworten:
7,5 cm (23.3%), 5,7 cm (50.57%) richtig, 5,8 cm (17.61%), 8,5 cm (8.52%)
176
Ein gleichschenkliges Dreieck hat eine 12 cm lange Basis und 8 cm lange Schenkel. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.

Häufigkeit der Antworten:
63,4 cm² (23.08%), 36,7 cm² (33.01%), 73,4 cm² (22.56%), 31,7 cm² (21.35%) richtig
6685
Wie groß ist der Winkel γ eines Dreiecks, wenn Winkel α = 45° und Winkel β = 80° beträgt?

Häufigkeit der Antworten:
55 (64.17%) richtig, 65 (17.52%), 75 (12.1%), 85 (6.22%)
4744
Wie viel Grad hat der Winkel a eines Dreiecks, wenn Winkel c = 30° hat und Winkel b = 100,5° beträgt?

Häufigkeit der Antworten:
49,5° (56.17%) richtig, 30,5° (19.51%), 50,5° (17.15%), 185,5° (7.17%)
15232
Wie lang ist die Diagonale eines Rechtecks mit den Seitenlängen 5 cm und 7 cm?

Häufigkeit der Antworten:
6,7 cm (11.91%), 6,8 cm (22.48%), 8,6 cm (48.01%) richtig, 7,8 cm (17.6%)
6842
Berechne die jeweils fehlende Seite des Dreiecks ABC, bei dem es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. a = ?, b= 12 cm, c= 13 cm

Häufigkeit der Antworten:
3 cm (13.05%), 4 cm (18.48%), 5 cm (44.1%) richtig, 6 cm (24.38%)
1050
Berechne die jeweils fehlende Seite des Dreiecks ABC, bei dem es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. a= 8 cm , b= 6 cm, c = ?

Häufigkeit der Antworten:
8 cm (21.66%), 10 cm (49.74%) richtig, 12 cm (17.68%), 14 cm (10.92%)
577
Ein Dachdecker soll das Dach des Hausbesitzers nach einem Sturm komplett neu decken. Pro Quadratmeter benötigt er hierzu 10 Dachziegel. Das Haus ist 8 Meter breit und 12 Meter lang. Das Spitzdach läuft parallel zur langen Seite des Hauses. Die Höhe des Dachs beträgt 3 Meter. Wie viele Dachziegel benötigt der Dachdecker?

Häufigkeit der Antworten:
1100 Dachziegel (18.68%), 1150 Dachziegel (24.07%), 1300 Dachziegel (24.95%), 1200 Dachziegel (32.3%) richtig
1483
Berechnen Sie die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks bei einer Seitenlänge a = 5 cm, b = 8 cm.
Berechnen Sie die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks bei einer Seitenlänge a = 5 cm, b = 8 cm.
Häufigkeit der Antworten:
58 cm (17.12%), 40 cm (29.97%), 30 cm (9.68%), 20 cm (43.24%) richtig
48649


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