Dreieck - Aufgaben und Formeln zur Flächen- und Umfangberechnung

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Dreieck - Aufgaben und Formeln zur Flächen- und Umfangberechnung

Ein Dreieck hat immer drei Seiten, drei Innenwinkel und drei Ecken. Jeder der drei Innenwinkel ist größer 0 und kleiner 180 Grad. Die Summe der drei Winkel ergibt beim Dreieck immer genau 180 Grad. Ein Dreieck wird immer durch drei Angaben eindeutig bestimmt. Das kann beispielsweise die Länge der drei Seiten sein, oder nur eine Seite und zwei Winkel, oder zwei Seiten und ein Winkel. Manchmal wird in den Aufgaben statt der Seite die Höhe des Dreiecks angegeben, um beispielsweise die Fläche zu berechnen. Es gibt unterschiedliche Spezialformen von Dreiecken, welche bei der Flächen- und Umfangberechnung eine Rolle spielen. Diese werden hier behandelt.

Formeln zur Flächen- und Umfangberechnung eines Dreiecks

Es gibt eine allgemeine Formel, um die Fläche und den Umfangs eines Dreiecks zu berechnen.

Allgemeine Formel Dreiecksfläche: A = c · hc / 2

Allgemeine Formel Umfang eines Dreiecks: U = a + b + c

Doch nicht immer sind genau die Größen angegeben, die man benötigt. Häufig ist statt einer Länge ein Winkel angegeben, somit muss zur Flächenberechnung eine andere als die allgemeine Formel verwendet werden (siehe Winkelberechnung). Die Spezialform des Dreieck entscheidet darüber, welche Formel genau verwendet werden kann. Hier stellen wir die einzelnen Spezialformen des Dreiecks vor.

Rechtwinkliges Dreieck - Formeln

Der Flächeninhalt beim rechtwinkligen Dreieck lässt sich vergleichsweise einfach ermitteln. Hierzu sind nur die beiden Seitenlängen notwendig, welche durch den rechten Winkel (90 Grad) miteinander verbunden sind. Dann lautet die Formel:

Fläche rechtwinkliges Dreieck: A = a · b / 2

Umfang rechtwinkliges Dreieck: U = a + b + c

Gleichseitiges Dreieck - Formeln

Das besondere beim gleichseitigen Dreieck ist, dass alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß sind (60 Grad). Es ist eine Spezialform des gleichschenkligen Dreiecks. Der Flächeninhalt beim gleichseitigen Dreieck ist am einfachsten zu berechnen, da zur Berechnung nur eine Seitenlänge (entweder a, b oder c) notwendig ist. Beispielhaft wurde bei dieser Formel die Seitenlänge a verwendet. 

Formel gleichseitige Dreieck-Fläche: A = a² : 4 · √3

Umfang rechtwinkliges Dreieck: U = 3 · a

Gleichschenkliges Dreieck - Formeln

Beim gleichschenkligen Dreieck sind mindestens zwei Seiten gleich lang und somit mindestens zwei Winkel gleich groß. Somit werden zur Berechnung von Fläche und Umfang auch nur zwei Seiten verwendet, in diesem Beispiel ist es a und b.

Fläche gleichschenkliges Dreieck: A = 0,5 · b · √(a² - b² / 4)

Umfang gleichschenkliges Dreieck: U = 2 · a + b

Winkelberechnung beim Dreieck

Um einen bestimmten Winkel eines Dreiecks zu berechnen, wird eine der Winkelfunktionen Sinus- (sin), Kosinus (cos) oder Tangens (tan) angewandt. Die Winkel selbst werden in der Winkelfunktion durch die griechischen Buchstaben α (Alpha), β (Beta) und γ (Gamma) abgekürzt. Die gegenüberliegende Seite von α wird mit a, von β mit b und von γ mit c abgekürzt. Sollte eine Seitenlänge bei einem rechtwinkligen Dreieck nicht bekannt sein, so kann der Satz des Pythagoras angewandt werden (c² = a² + b²). Hier die Formeln zur Berechnung des Winkels α. Für cos, sin und tan gibt es auf den meisten Taschenrechnern eine eigene Taste. Somit müssen wir nur die Werte in die Formel einsetzen und in den Taschenrechner eingeben.

sin(α) = a/c (a steht für die Gegenkathete und c für die Hypotenuse)

Ist die Länge der Gegenkathete a nicht bekannt, so wird mit cos und b (Ankathete) gerechnet:

cos(α) = b/c

Ist die Länge der Hypotenuse c nicht bekannt, so wird mit tan und a (Gegenkathete) gerechnet:

tan(α) = a/b

Volumen von Körpern berechnen mit einem Dreieck als Grundfläche

Das Volumen von Körpern mit einem Dreieck als Grundfläche wird unterschiedlich berechnet, je nachdem um welchen Körper es sich handelt. Bei einem Prisma verwendet man die Formel V = Ag · h, wobei Ag für die Fläche des Dreiecks steht. Bei einer Dreieckspyramide lautet die Formel V = Ag · h  · ⅓ . Siehe dazu das Thema Körperberechnung

Schwerpunkt eines Dreiecks berechnen

Der Geometrische Schwerpunkt eines Dreicks ist sein arithmetischer Mittelpunkt. Dieser kann bei der Volumenberechnung oder in der Wahrscheinlichkeitsrechnung wichtig sein. Der Schwerpunkt liegt im gemeinsamen Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks. Die allgemeine Formel zur Berechnung der Koordinaten des Schwerpunkts S (x, y) lautet:

Sx = ⅓ (Xa + Xb + Xc) Sy = ⅓ (Ya + Yb + Yc)

Weitere mathematische Anwendungen von Dreiecken

In der Mathematik gibt es noch zahlreiche weitere Anwendungen von Dreiecken, die nichts mit der Flächen- oder Umfangberechnung zu tun haben. Dazu gehört beispielsweise das Pascalsche Dreieck. Das Parcalsche Dreieck ist eine Darstellung der Binomialkoeffizienten in Form eines Dreicks. Diese wird benutzt, um schnell beliebige Potenzen von Binomen auszumultiplizieren. Typische Anwendungsfälle finden sich dafür in der Wahrscheindlichkeitsrechnung.

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